Some new results in multiphase geometrical optics

In order to accommodate solutions with multiple phases, corresponding to crossing rays, we formulate geometrical opties for the scalar wave équation as a kinetic transport équation set in phase space. If the maximum number of phases is finite and known a priori we can recover the exact multiphase solution from an associated System of moment équations, closed by an assumption on the form of the density function in the kinetic équation. We consider two different closure assumptions based on delta and Heaviside functions and analyze the resuit ing équations. They form Systems of nonlinear conservation laws with source terms. In contrast to the classical eikonal équation, these équations will incorporate a "finite" superposition principle in the sensé that while the maximum number of phases is not exceeded a sum of solutions is also a solution. We present numerical results for a variety of homogeneous and inhomogeneous problems. Résumé. Afin d'exhiber des solutions possédant des phases multiples, et dans l'objectif de traiter le cas de rayons qui se croisent, nous formulons Poptique géométrique pour l'équation d'ondes scalaire comme une équation cinétique de transport posée dans l'espace des phases. Si le nombre maximum de phases est fini et connu a priori, nous reconstruisons la solution multivaluée exacte en résolvant un système associé d'équations de moments. Nous fermons ce système en faisant deux hypothèses différentes sur la forme particulière de la fonction densité dans l'équation cinétique, basée sur des fonctions de Dirac et de Heaviside. Nous analysons les équations résultantes. Elles forment des systèmes de lois de conservation non linéaires avec termes source. Contrairement à l'équation eikonale classique, ces équations permettent d'obtenir un principe de superposition "fini", dans le sens suivant : tant que le nombre maximum de phases n'est pas excédé, une somme de solutions du système obtenu demeure une solution. Nous présentons des résultats numériques pour un certain nombre de problèmes homogènes et non homogènes. Mathematics Subject Classification. 35L65, 65M06, 78A05. Received: March 3, 2000. Revised: August 14, 2000.